Дипломы, рефераты, курсовые работы

1Формулы (1.21) и (1.22) можно получить и с помощью интегрирования.

Важно отметить, что равномерная и непрерывная выплата годовой суммы примерно равнозначна (по влиянию на величины А и S)разовой выплате этой суммы в середине года. Иначе говоря, замена непрерывной постоянной ренты на более привычную дискретную с отнесением платежей к середине периодов мало повлияет на результаты расчетов. Обобщающие параметры ренты в этом случае рассчитываются по формулам, полученным для дискретных рент с учетом множителя (l+i)^1/2.

где 5 — ставка непрерывных процентов (force of interest).В русской финансовой литературе эта величина получила название сила роста;

е — основание натуральных логарифмов.

Между дискретными и непрерывными ставками, как известно, существуют зависимости, позволяющие определить эквивалентные размеры ставок, т. е. ставок, дающих одинаковые финансовые результаты:

ПРИМЕР 11

Пусть в примере 9 дисконтирование осуществляется но силе роста, равной 10%, тогда, используя (1.25), получим

Непрерывно изменяющийся поток платежей. Выше предполагалось, что годовая сумма Rнепрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единственно возможным. На практике, особенно при анализе инвестиций в производство, поток платежей может существенно изменяться во времени, в том числе и следуя какой-либо закономерности, например если ожидается, что в течение первых трех лет работы произойдет плавное и непрерывное увеличение выпуска продукции с постоянным темпом прироста.

Если поток платежей непрерывен и описывается функцией R_t =f(t),то общая сумма поступлений за время n равна

Причем зависимость между А и Sможно представить как

где rq — начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в котором измеряется срок ренты;

а — прирост в единицу времени.

Современная стоимость получена с помощью интегрирования функции потока платежей:

где a_n —коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты (см. (1.25)).

ПРИМЕР 12

Назовем параметр gнепрерывным темпом прироста платежей. Между принятым в статистике дискретным темпом прироста kи непрерывным существует следующая зависимость:

Ожидается, что прирост доходов на протяжении 'грех лет составит У/а в год (k= 0,05). Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если R= 100, i = 7%, n = 3 года?

Из условий задачи следует:

Коль скоро потоки платежей являются эквивалентными, замена одного потока другим не изменяет финансовое положение участвующих сторон. Пусть в контракте оговорен поток поступлений со значительными колебаниями их размеров. Возникла необходимость сравнения с конкурирующими условиями, предусматривающими выплату ренты с постоянными членами. Сроки и остальные условия у двух потоков платежей одинаковы. Определим неизвестный размер члена постоянной ренты R.

Как видим, Rпредставляет собой среднюю арифметическую взвешенную с весами, равными дисконтным множителям. Пусть заменяющая рента в рассмотренном случае имеет срок и,, отличающийся от n. Тогда

Во второй и третьей схемах предусматриваются два источника дохода: доход от прироста капитала в виде разности между суммой номинала инструмента и его ценой (capital gain)и начисленные проценты.

где дисконтные множители определяются по искомой процентной ставке j.

где D— размер инвестиций;

R_t , R — члены потока поступлений;

К — цена (или курс) финансового инструмента;

d —размер разового погашения долга;

I_t— сумма процентов за период.

Приведем уравнения эквивалентности, с помощью которых определяются показатели доходности (в виде процентных ставок) соответствующих инвестиционных схем. Для первой схемы имеем:

Если отдача постоянна, то вместо (1.30) имеем

Заметим, что положительное и отличное от нуля значение показателя доходности имеет место в случае, когда а_n;t< n. Соответственно R/D > n.

Вторая из упомянутых инвестиционных схем пригодна для инвестиции в облигации¹с периодическими выплатами постоянного купонного дохода и погашением обязательства в конце срока по номиналу. Для этих условии получим следующее уравнение эквивалентности при условии, что купоны погашаются ежегодно:

где R=Ni;

i —уровень купонного дохода;

Р — цена облигации;

N — номинал.

Если под Р подразумевается курс облигации (Р = К), то N=100. Для оценки доходности можно применить и приближенную формулу

Облигация со сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются один раз в год по норме 8%, куплена по курсу 97. Запишем уравнение эквивалентности (1.32) и разделим обе его стороны на 100:

С помощью линейной интерполяции находим j= 8,77%. Для проверки рассчитаем курс на основе полученной ставки. Находим

D_t— остаток долга на начало года t, D₁ = D,

где h —доходность от разности номинала и цены;

i —процентная ставка по условиям финансового инстру мента.

При определении первого элемента этой суммы фактический процесс последовательного погашения долга условно заменяется разовым погашением со средним сроком выплаты. Из равенства

Средний срок в данной ситуации определяется элементарно: Т = n/2 .Наличие льготного периода (без погашения основного долга) увеличивает средний срок на соответствующую величину.

Точная величина доходности равна 23,11%. Расчет современной стоимости поступлений по этой ставке представлен в таблице, в которой символом R_tобозначена ежегодная сумма обслуживания долга.

Количественный анализ потока платежей, в том числе расчет современной стоимости, обычно предполагает фиксированность размеров всех его членов и безусловность их выплат (см. расчетные формулы в § 1.2 и 1.3). В инвестиционных проектах, однако, часто сталкиваются со случаями, когда размер члена потока платежей является случайной переменной (размер заранее точно неизвестен) и задается в виде некоторого диапазона значений или среднего значения, например предполагаемый или ожидаемый уровень добычи минерального сырья, выпуск продукции при условии, что ее производство зависит от погодных условий или возможностей снабжения сырьем и т. д. Иногда проект предусматривает условия, согласно которым члены потока платежей (затраты и поступления) не являются безусловными, а лишь возможны (ожидаемы)с той или иной вероятностью. В частном случае такой поток представляет собой вероятностную или условную ренту. С подобного рода рентами встречаются и в страховании. В упомянутых случаях методики расчета современной стоимости и наращенной суммы потока платежей нуждаются в существенных дополнениях. Эти методики выходят за рамки "классической" финансовой математики. Кратко рассмотрим две из возможных постановок задачи, зависящих от вида имеющейся информации о потоках платежей.

Члены потока платежей задаются статистическими распределениями. Пусть имеется поток платежей, выплачиваемых в моменты t= 1, ..., n. Каждый член потока является случайной величиной с заданным распределением. Вид и параметры распределения устанавливаются на основе имеющейся статистики или, что ближе к действительности, задаются экспертным путем. Таким образом, в целом поток платежей описывается последовательными распределениями случайных величин R_t. Причем, чем больше срок платежа, тем, очевидно, больше амплитуда колебаний в размерах платежей (рис. 1.4). Обобщающее распределение показателя современной стоимости можно получить, суммируя частные распределения с соответствующим их дисконтированием. Распределения членов потока могут быть одинаковыми, что, разумеется, удобнее для расчетов, хотя и менее правдоподобно.

Для каждого из частных распределений нетрудно найти соответствующие средние R_t. Величина современной стоимости потока, состоящего из средних, по определению, равна

где n_t— интервал от начала потока платежей до момента выплаты t-го члена потока.

Найденная по формуле (1.35) величина представляет собой среднюю распределения современной стоимости потока платежей, каждый из которых представлен в виде распределения. В частном случае, когда суммируемые распределения одинаковы на протяжении всего срока (соответственно одинаковы и их средние) и, кроме того, временные интервалы между платежами одинаковы, получим:

Фактическое значение современной стоимости потока платежей будет отличаться от расчетной средней А . Различие будет тем больше, чем выше дисперсия распределения величины А. Задача определения такой дисперсии в общем случае достаточно сложна. В связи с этим найдем, используя некоторые положения математической статистики, дисперсию суммарного распределения, но только для одного частного случая, анализ которого делает наглядным существо проблемы.

Допустим, что поток платежей описывается последовательными одинаковыми нормальными распределениями. Соответственно их средние и дисперсии одинаковы. Поскольку А представляет собой сумму дисконтированных величин (в данном случае Rv^t), то дисперсия каждого слагаемого этой суммы составит в силу известного свойства дисперсии величину D(Rv^t) = D(R)v^2t .Обозначим дисперсию частного распределения как D = D(R) .

При условии независимости последовательных членов потока платежей (условие, следует заметить, сильно упрощающее действительное положение дел, однако позволяющее представить основные зависимости более наглядно) дисперсию суммы дисконтированных платежей (D₀)можно оценить как

Сумма под корнем представляет собой своеобразный коэффициент приведения. Обозначим его d_n;t:

где z— нормированное отклонение от средней (см. табл. Приложения).

Если вероятность, с которой желательно установить границы интервала, принята на уровне 90%, то z= 1,65 и искомые границы составят 28,72; 36,37. Уменьшение надежности вывода, естественно, сокращает этот интервал. Так, для вероятности 75% (z = 1,15) получим соответственно 29,84; 35,20.

Современная стоимость с учетом вероятностей выплат членов потока. В общей постановке задача выглядит следующим образом. Пусть выплата каждого члена потока платежей R, не безусловна, а имеет некоторую вероятность р_t. Современная стоимость такого потока составит

где v—дисконтный множитель.

Полученный показатель Е(А) представляет собой современную стоимость страховых премий с учетом вероятности их выплат. Аналогичным путем можно разрабатывать формулы для оценки величины современной стоимости потоков платежей и для инвестиционных процессов, если учет вероятностей является необходимым.

Преимущества заказа

Вы не тратите время на поиск актуальной а соответствующей теме работе информации, а можете сосредоточиться на ее изучении и подготовке к защите. Заказ работы - это применения метода аналогий, одного из самого продуктивных в науке да и повседневной жизни. Имея готовую выполненную на заказ работу Вы можете легко адаптировать ее под свои требования. Ценовая политика гибкая, так как цена выполняемой работы зависит от ВУЗа, требований, объема вычислений и т.п.В качестве гарантии выполнения работы на нужном уровне можно оценить уже имеющуюся уникальную базу готовых работ.

Пишите на эл. почту info@4i5.ru Форма заказа